《函数的对称性》高一数学知识点总结【最新3篇】

《函数的对称性》高一数学知识点总结 篇一

函数的对称性是高一数学中的重要知识点之一，它可以帮助我们简化问题、提高解题效率，并且能够使我们更好地理解函数的性质。下面将对函数的对称性进行总结和讨论。

首先，我们来讨论一下函数的奇偶性。对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，那么我们称这个函数为奇函数。奇函数的图像关于原点对称，具有以下性质：当x在定义域内变化时，函数值也在定义域内变化，且函数的图像关于原点对称。例如，函数f(x) = x^3就是一个奇函数。另一方面，如果对于任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，那么我们称这个函数为偶函数。偶函数的图像关于y轴对称，具有以下性质：当x在定义域内变化时，函数值也在定义域内变化，且函数的图像关于y轴对称。例如，函数f(x) = x^2就是一个偶函数。需要注意的是，有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这种函数既没有奇对称性也没有偶对称性。

其次，我们来讨论一下函数的周期性。对于定义在实数集上的函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意一个实数x，都有f(x+T) = f(x)，那么我们称这个函数为周期函数，而T则称为函数的周期。周期函数的图像在一定的区间内重复出现，具有以下性质：当x在定义域内变化时，函数值也在定义域内变化，且函数的图像在每个周期内重复。例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都是2π。需要注意的是，周期函数的定义域可以是整个实数集，也可以是某个有限区间。

最后，我们来讨论一下函数的轴对称性。对于定义在实数集上的函数f(x)，如果存在一个实数c，使得对于任意一个实数x，都有f(2c-x) = f(x)，那么我们称这个函数在x=c处轴对称。轴对称函数的图像关于直线x=c对称，具有以下性质：当x在定义域内变化时，函数值也在定义域内变化，且函数的图像关于直线x=c对称。例如，函数f(x) = x^2就是一个轴对称函数，它在x=0处轴对称。

综上所述，函数的对称性包括奇偶性、周期性和轴对称性。通过研究函数的对称性，我们可以更好地理解函数的性质，并且能够在解题过程中运用对称性来简化问题、提高解题效率。在高一数学中，函数的对称性是一个重要的知识点，希望同学们能够认真学习并灵活运用。

《函数的对称性》高一数学知识点总结 篇二

函数的对称性是高一数学中的重要内容，它与函数的性质和图像密切相关。在本篇文章中，我们将探讨函数的对称性在高一数学中的应用。

首先，对称性在函数图像的绘制中起着重要作用。根据函数的对称性质，我们可以通过已知的函数图像来绘制其他函数的图像。例如，如果已知一个函数是奇函数，那么我们只需要知道它在定义域的一部分的图像，就可以通过关于原点对称得到整个函数的图像。同样地，如果已知一个函数是偶函数，那么我们只需要知道它在定义域的一部分的图像，就可以通过关于y轴对称得到整个函数的图像。这种方法不仅可以帮助我们快速绘制函数的图像，还能够帮助我们更好地理解函数的对称性。

其次，对称性在函数的性质研究中有着重要的应用。根据函数的对称性质，我们可以推导出函数的一些重要性质。例如，对于奇函数来说，如果它在某点处取得了最大值或最小值，那么它在关于原点对称的对称点处也会取得相同的最大值或最小值。这可以帮助我们快速找到函数的最值点。同样地，对于偶函数来说，如果它在某点处取得了最大值或最小值，那么它在关于y轴对称的对称点处也会取得相同的最大值或最小值。这种对称性质可以帮助我们更好地理解函数的性质，并且在解题过程中提供参考。

最后，对称性在函数的变换中也有着重要的应用。根据函数的对称性质，我们可以通过变换得到新的函数。例如，如果已知一个函数是轴对称函数，那么我们可以通过平移、伸缩等操作得到新的轴对称函数。这种方法可以帮助我们更好地理解函数的变换规律，并且在解题过程中提供参考。

综上所述，函数的对称性在高一数学中有着重要的应用。通过研究函数的对称性，我们可以更好地理解函数的性质和图像，简化问题、提高解题效率，并且在函数的变换中提供指导。希望同学们能够认真学习并灵活运用函数的对称性，提高数学解题的能力。

《函数的对称性》高一数学知识点总结 篇三

《函数的对称性》高一数学知识点总结

　　一、 函数自身的对称性探究

　　定理1.函数 = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

　　f (x) + f (2a－x) = 2b

　　证明：（必要性）设点P(x ,)是 = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－）也在 = f (x)图像上，∴ 2b－ = f (2a－x)

　　即 + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

　　（充分性）设点P(x0,0)是 = f (x)图像上任一点，则0 = f (x0)

　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－0 = f (2a－x0) 。

　　故点P'（2a－x0，2b－0）也在 = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

　　推论：函数 = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

　　定理2. 函数 = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

　　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

　　推论：函数 = f (x)的图像关于轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

　　定理3. ①若函数 = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则 = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

　　②若函数 = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则 = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

　　③若函数 = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则 = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

　　①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

　　∵函数 = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

　　又∵函数 = f (x)图像直线x =b成轴对称，

　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

　　f (x) = f [4(a－b) + x],故 = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

　　二、 不同函数对称性的探究

　　定理4. 函数 = f (x)与 = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

　　定理5. ①函数 = f (x)与 = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

　　②函数 = f (x)与a－x = f (a－)的图像关于直线x + = a成轴对称。

　　③函数 = f (x)与x－a = f ( + a)的图像关于直线x－ = a成轴对称。

　　定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

　　设点P(x0 ,0)是 = f (x)图像上任一点，则0 = f (x0)。记点P( x ,)关于直线x－ = a的`轴对称点为P'（x1， 1），则x1 = a + 0 , 1 = x0－a ，∴x0 = a + 1 , 0= x1－a 代入0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + 1) ∴点P'（x1， 1）在函数x－a = f ( + a)的图像上。

　　同理可证：函数x－a = f ( + a)的图像上任一点关于直线x－ = a的轴对称点也在函数 = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

　　推论：函数 = f (x)的图像与x = f ()的图像关于直线x = 成轴对称。

　　三、 三角函数图像的对称性列表

　　注：①上表中∈Z

　　② = tan x的所有对称中心坐标应该是(π/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为 = tan x的所有对称中心坐标是( π, 0 )，这明显是错的。

　　四、 函数对称性应用举例

　　例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）

　　(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不

　　(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

　　解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

　　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

　　故选(A)

　　例2：设定义域为R的函数 = f (x)、 = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线 = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

　　（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。

　　解：∵ = f(x－1)和 = g-1(x－2)函数的图像关于直线 = x对称，

　　∴ = g-1(x－2) 反函数是 = f(x－1)，而 = g-1(x－2)的反函数是: = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

　　故f(4) = 2001,应选（C）

　　例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

　　f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）

　　解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是 = f(x)对称轴；

　　又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是 = f (x) 对称轴。故 = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

　　例4.函数 = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

　　解：函数 = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = +

　　∴x = － ,显然取 = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)

　　例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

　　f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）

　　(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

　　解：∵ = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

　　又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是 = f (x) 对称轴，故 = f (x)是周期为2的周期函数。

　　∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)