三角函数公式推导过程【精彩3篇】
三角函数公式推导过程 篇一
三角函数是高等数学中非常重要的一部分，它们在许多数学问题的解决中起着关键作用。本文将以推导正弦函数的和差角公式为例，介绍三角函数公式的推导过程。
首先，我们从一个简单的几何图形入手，如下图所示：
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假设这是一个单位圆，圆心为O，半径为1。现在我们在圆上任取两个点A和B，分别对应的角度为α和β。我们可以看到，角α对应的弧长为α，角β对应的弧长为β。根据弧度定义，我们知道弧长与角度之间存在如下关系：弧长 = 半径 × 角度。因此，我们可以得到以下关系：
弧长OA = 1 × α = α
弧长OB = 1 × β = β
接下来，我们将点A和B的坐标分别表示为(Ax, Ay)和(Bx, By)。根据单位圆的性质，我们可以得到以下关系：
Ax = cosα
Ay = sinα
Bx = cosβ
By = sinβ
现在，我们来计算点C的坐标，如下图所示：
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C
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根据点C的定义，我们可以得到以下关系：
Cx = cos(α + β)
Cy = sin(α + β)
我们知道，向量AC的长度等于向量AB的长度，即AC的长度为1。根据向量的加法，我们可以得到以下关系：
AC2 = (Cx - Ax)2 + (Cy - Ay)2
= (cos(α + β) - cosα)2 + (sin(α + β) - sinα)2
= cos2(α + β) - 2cos(α + β)cosα + cos2α + sin2(α + β) - 2sin(α + β)sinα + sin2α
根据三角函数的平方和公式，我们可以将上式化简为：
AC2 = 1 - 2cos(α + β)cosα + 1 - 2sin(α + β)sinα
= 2 - 2(cos(α + β)cosα + sin(α + β)sinα)
根据余弦函数的和差角公式，我们知道cos(α + β)可以表示为cosαcosβ - sinαsinβ，sin(α + β)可以表示为sinαcosβ + cosαsinβ。将这两个公式代入上式，我们可以得到：
AC2 = 2 - 2((cosαcosβ - sinαsinβ)cosα + (sinαcosβ + cosαsinβ)sinα)
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sin2αsinβ + 2cos2αsinα
继续化简上式，我们可以得到：
AC2 = 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sin2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sin2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2(1 - cos2α)sinβ + 2cos2αsinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sinβ - 2cos2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 + 2sinαsinβcosβ - 2cos2αcosβ + 2sinβ - 2cos2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 + 2sinαsinβcosβ - 2cos2αcosβ + 2sinβ - 2cos2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 + 2(sinαsinβcosβ - cos2αcosβ + sinβ - cos2αsinβ + cos2αsinα)
= 2 + 2(sinαsinβcosβ - cos2αcosβ + sinβ - cos2αsinβ + sinαcos2α)
= 2 + 2(sinαsinβcosβ - cos2αcosβ + sinβ + sinαcos2α - cos2αsinβ)
根据三角函数的和差角公式，我们可以将上式化简为：
AC2 = 2 + 2cos(α - β) + 2sin(α + β) + 2sin(α - β)
= 2 + 2sin(α + β) + 2cos(α - β) + 2sin(α - β)
最后，我们将AC的长度表示为1，即AC2 = 1。将这个结果代入上式，我们可以得到：
1 = 2 + 2sin(α + β) + 2cos(α - β) + 2sin(α - β)
化简上式，我们可以得到正弦函数的和差角公式：
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
通过以上推导过程，我们成功地推导出了正弦函数的和差角公式。这个公式在解决许多三角函数相关问题时非常有用，能够简化计算过程，提高效率。
三角函数公式推导过程 篇二
三角函数是高等数学中非常重要的一部分，它们在许多数学问题的解决中起着关键作用。本文将以推导余弦函数的和差角公式为例，介绍三角函数公式的推导过程。
首先，我们从一个简单的几何图形入手，如下图所示：
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假设这是一个单位圆，圆心为O，半径为1。现在我们在圆上任取两个点A和B，分别对应的角度为α和β。我们可以看到，角α对应的弧长为α，角β对应的弧长为β。根据弧度定义，我们知道弧长与角度之间存在如下关系：弧长 = 半径 × 角度。因此，我们可以得到以下关系：
弧长OA = 1 × α = α
弧长OB = 1 × β = β
接下来，我们将点A和B的坐标分别表示为(Ax, Ay)和(Bx, By)。根据单位圆的性质，我们可以得到以下关系：
Ax = cosα
Ay = sinα
Bx = cosβ
By = sinβ
现在，我们来计算点C的坐标，如下图所示：
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C
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根据点C的定义，我们可以得到以下关系：
Cx = cos(α + β)
Cy = sin(α + β)
我们知道，向量AC的长度等于向量AB的长度，即AC的长度为1。根据向量的加法，我们可以得到以下关系：
AC2 = (Cx - Ax)2 + (Cy - Ay)2
= (cos(α + β) - cosα)2 + (sin(α + β) - sinα)2
= cos2(α + β) - 2cos(α + β)cosα + cos2α + sin2(α + β) - 2sin(α + β)sinα + sin2α
根据三角函数的平方和公式，我们可以将上式化简为：
AC2 = 1 - 2cos(α + β)cosα + 1 - 2sin(α + β)sinα
= 2 - 2(cos(α + β)cosα + sin(α + β)sinα)
根据余弦函数的和差角公式，我们知道cos(α + β)可以表示为cosαcosβ - sinαsinβ，sin(α + β)可以表示为sinαcosβ + cosαsinβ。将这两个公式代入上式，我们可以得到：
AC2 = 2 - 2(cosαcosβ - sinαsinβ)cosα + 2(sinαcosβ + cosαsinβ)sinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sin2αsinβ + 2cos2αsinα
继续化简上式，我们可以得到：
AC2 = 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sin2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sin2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2(1 - cos2α)sinβ + 2cos2αsinα
= 2 - 2cos2αcosβ + 2sinαsinβcosβ + 2sinβ - 2cos2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 + 2sinαsinβcosβ - 2cos2αcosβ + 2sinβ - 2cos2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 + 2sinαsinβcosβ - 2cos2αcosβ + 2sinβ - 2cos2αsinβ + 2cos2αsinα
= 2 + 2(sinαsinβcosβ - cos2αcosβ + sinβ - cos2αsinβ + cos2αsinα)
= 2 + 2(sinαsinβcosβ - cos2αcosβ + sinβ - cos2αsinβ + sinαcos2α)
= 2 + 2(sinαsinβcosβ - cos2αcosβ + sinβ + sinαcos2α - cos2αsinβ)
根据三角函数的和差角公式，我们可以将上式化简为：
AC2 = 2 + 2cos(α - β) + 2sin(α + β) + 2sin(α - β)
= 2 + 2sin(α + β) + 2cos(α - β) + 2sin(α - β)
最后，我们将AC的长度表示为1，即AC2 = 1。将这个结果代入上式，我们可以得到：
1 = 2 + 2sin(α + β) + 2cos(α - β) + 2sin(α - β)
化简上式，我们可以得到余弦函数的和差角公式：
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
通过以上推导过程，我们成功地推导出了余弦函数的和差角公式。这个公式在解决许多三角函数相关问题时非常有用，能够简化计算过程，提高效率。
三角函数公式推导过程 篇三
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sin
b
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的'四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
怎样推导三角函数公式
三角函数公式最基本的只有两个：
sin(α+/-β)=sinα cosβ +/- cosα sinβ
cos(α+/-β)=cosα cosβ -/+ sinα sinβ
这两个公式当然可以证明,而且数学课本上应该有证明.
其他的所有公式,包括和差倍半、诱导公式、和差化积、积化和差,全部都是这两个公式的衍生品.
仅举一例：
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinα cosβ + cosα sinβ)/(cosα cosβ - sinα sinβ)=(tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)(上下同除cosα cosβ).
这两个公式就是那一大堆公式的牛鼻子,记牢了就行了.至于剩下的,能记住,做题省点时间;记不住,拿这两个现场推.当然,要想拿这两个去推诱导公式的话,90°、180°、270°那些角的函数值得自己记住.
记住两个,总比一下要记二十几个容易得多.
三角函数所有公式的推导过程
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
三倍角公式
sin3a=3sina-4(sina)^3
cos3a=4(cosa)^3-3cosa
tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
