高中数学弦切角定理的证明方法(经典3篇)
高中数学弦切角定理的证明方法 篇一
弦切角定理是高中数学中常用的一个定理，用来求解与弦和切线相关的角度问题。下面我们来介绍一种证明弦切角定理的方法。
首先，我们来回顾一下弦切角定理的表述：在一个圆中，若一条弦与一条切线相交，那么相交的两个角是平等的。
证明：
设在圆上有一条弦AB，与切线CD相交于点E，连接AE和BE。要证明∠CED = ∠CBE。
1. 首先，我们可以利用切线与弦的性质，得出∠CBE＝∠BAE。这是因为切线与半径的夹角是90度，所以∠BCE＝90度，而∠BAE是弦AB与切线CD的夹角，所以∠CBE＝∠BAE。
2. 接下来，我们来证明∠CED＝∠BAE。我们可以利用圆的性质来证明这个结论。首先，我们可以得出∠CDE是弦AB的外角，而∠BAE是弦AB的对应内角。根据圆的性质，外角等于其对应的内角，所以∠CDE＝∠BAE。
由1和2的结果可知，∠CED = ∠CBE，即在一个圆中，若一条弦与一条切线相交，那么相交的两个角是平等的。
通过以上的证明，我们可以得出弦切角定理的结论。这个定理在高中数学中经常用到，特别是在解决与圆相关的角度问题时，非常有用。对于学习数学的同学来说，掌握弦切角定理的证明方法，不仅能够更好地理解定理的内涵，还能够更灵活地应用定理解决问题。
高中数学弦切角定理的证明方法 篇二
弦切角定理是高中数学中常用的一个定理，用来求解与弦和切线相关的角度问题。下面我们来介绍另一种证明弦切角定理的方法。
首先，我们来回顾一下弦切角定理的表述：在一个圆中，若一条弦与一条切线相交，那么相交的两个角是平等的。
证明：
设在圆上有一条弦AB，与切线CD相交于点E，连接AE和BE。要证明∠CED = ∠CBE。
1. 首先，我们可以利用切线与弦的性质，得出∠CED＝∠BAE。根据切线与弦的性质，我们知道∠CED是切线CD与弦AB的夹角，而∠BAE是弦AB与切线CD的夹角，所以∠CED＝∠BAE。
2. 接下来，我们可以利用圆的性质来证明∠CBE＝∠CED。根据圆的性质，我们知道弧AB所对的圆心角是∠CBE的两倍，而弧AB所对的圆心角又等于∠CED。所以∠CBE＝∠CED。
由1和2的结果可知，∠CED = ∠CBE，即在一个圆中，若一条弦与一条切线相交，那么相交的两个角是平等的。
通过以上的证明，我们可以得出弦切角定理的结论。弦切角定理在高中数学中经常用到，特别是在解决与圆相关的角度问题时，非常有用。通过掌握不同的证明方法，我们不仅能够更好地理解定理的内涵，还能够更灵活地应用定理解决问题。
高中数学弦切角定理的证明方法 篇三
高中数学弦切角定理的证明方法
弦切角是几何中的定理，那它们是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的弦切角定理证明方法内容，希望大家喜欢。
弦切角定理证明方法一
1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。
而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。
由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。
(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。
由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。
第一题重新证明如下：
首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。
连接OA、OC、BC，则有
∠ACD+∠ACO=90°
=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)
=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)
=∠ACO+(1/2)∠AOC,
所以∠ACD=(1/2)∠AOC，
而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，
得∠ACD=∠CBA 。
另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，
所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。
弦切角定理证明方法二
证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的'弧的圆周角)
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：(弦切角定理)
证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
那么，连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
弦切角定理证明方法三
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
