高中数学几何证明定理(优质3篇)
高中数学几何证明定理 篇一
在高中数学中，几何证明定理是学生们需要掌握的重要内容之一。几何证明定理不仅有助于提高学生的证明能力，还能够帮助他们更好地理解几何概念和定理。本篇文章将介绍两个高中数学几何证明定理，并进行详细的证明过程。
第一个定理是：平行线截割等角线段的定理。该定理是指，如果两条平行线被一条截割，那么所截割的线段与平行线之间的夹角相等。证明过程如下：
设直线l和m为平行线，直线n截割l和m于点A和B。我们需要证明∠OAB=∠OBA，其中O为线段AB的中点。
首先，连接OA和OB。由于O为AB的中点，所以OA=OB，即△OAB为等腰三角形。又因为l和m是平行线，所以∠OAB=∠OBA。
第二个定理是：等腰三角形底角相等定理。该定理是指，等腰三角形的底角相等。证明过程如下：
设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。我们需要证明∠B=∠C。
首先，连接线段BC。由等腰三角形的定义可知，AB=AC，即∠ABC=∠ACB。
其次，连接线段AB和AC。由三角形的内角和定理可知，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。由于∠ABC=∠ACB，所以2∠ACB+∠BAC=180°。
然后，根据等式2∠ACB+∠BAC=180°，我们可以得到∠BAC=180°-2∠ACB。
最后，代入∠ABC=∠ACB，我们可以得到∠BAC=∠B。即等腰三角形的底角相等。
通过以上两个定理的证明过程，我们可以看到几何证明是一种逻辑严密的推理过程。通过运用几何定理和性质，我们可以得出结论并证明其正确性。这不仅有助于提高学生的数学思维能力，还可以培养他们的逻辑思维和分析问题的能力。
高中数学几何证明定理 篇二
高中数学几何证明定理是学生们在数学学习过程中需要掌握的重要内容之一。几何证明定理不仅有助于提高学生的证明能力，还能够帮助他们更好地理解几何概念和定理。本篇文章将介绍两个高中数学几何证明定理，并给出详细的证明过程。
第一个定理是：相似三角形的三对对应角相等定理。该定理是指，如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。证明过程如下：
设△ABC和△DEF是两个三角形，且∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。我们需要证明△ABC∽△DEF。
首先，我们可以利用角度的等量关系得出∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
其次，我们可以通过角度的等量关系得出∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F。
然后，我们可以利用三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°。
最后，根据以上等式，我们可以得出∠D+∠E+∠F=180°，即△ABC∽△DEF。
第二个定理是：等边三角形的三个内角都是60°定理。该定理是指，等边三角形的三个内角都是60°。证明过程如下：
设△ABC为等边三角形，其中AB=BC=AC。我们需要证明∠A=∠B=∠C=60°。
首先，连接线段AB、BC和AC。由于△ABC为等边三角形，所以AB=BC=AC，即△ABC为等边三角形。
其次，我们可以利用三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°。
然后，代入△ABC为等边三角形的条件，我们可以得到∠A+∠A+∠A=180°，即3∠A=180°。
最后，解方程3∠A=180°，我们可以得到∠A=60°。由于△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。
通过以上两个定理的证明过程，我们可以看到几何证明是一种逻辑严密的推理过程。通过运用几何定理和性质，我们可以得出结论并证明其正确性。这不仅有助于提高学生的数学思维能力，还可以培养他们的逻辑思维和分析问题的能力。
高中数学几何证明定理 篇三
高中数学几何证明定理大全
高中阶段的数学课程中，几何部分是一个绝对的教学重点，不少知识也是教学中的一个难点。下面小编就带大家一起来详细了解下吧。
高中几何证明定理
一.直线与平面平行的(判定)
1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.
2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)
二.平面与平面平行的(判定)
1. 判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
2.关键：判定两个平面是否有公共点
三.直线与平面平行的(性质)
1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线
四.平面与平面平行的(性质)
1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行
2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行
五：直线与平面垂直的(定理)
1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)
六.平面与平面的垂直(定理)
1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定)
2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换
七.平面与平面垂直的(性质)
1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行
2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)
以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。
高中数学几何定理
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3同角或等角的补角相等
4同角或等角的余角相等
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9同位角相等，两直线平行
10内错角相等，两直线平行
11同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13两直线平行，内错角相等
14两直线平行，同旁内角互补
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18推论1 直角三角形的两个锐角互余
19推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等
26斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51推论任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)&pide;2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)&pide;2 s=l×h
83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
91相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)
92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)
94判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)
95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的'一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线l和⊙o相交 d
②直线l和⊙o相切 d=r
③直线l和⊙o相离 d>r
122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d>r+r
②两圆外切 d=r+r
③两圆相交 r-rr)
④两圆内切d=r-r(r>r)
⑤两圆内含dr)
136定理
137定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式：l=nπr/180
145扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2
146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)
147等腰三角形的两个底脚相等
148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
150三条边都相等的三角形叫做等边三角形
