《同角三角函数的基本关系式》教案【优质4篇】
《同角三角函数的基本关系式》教案 篇一
同角三角函数的基本关系式是学习三角函数的基础,也是解决三角函数相关问题的关键。本教案将通过讲解同角三角函数的定义和性质,以及推导同角三角函数的基本关系式,帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、同角三角函数的定义和性质
1. 正弦函数:在直角三角形中,对于任意角A,其对边与斜边的比值称为正弦,记作sinA。
2. 余弦函数:在直角三角形中,对于任意角A,其邻边与斜边的比值称为余弦,记作cosA。
3. 正切函数:在直角三角形中,对于任意角A,其对边与邻边的比值称为正切,记作tanA。
二、同角三角函数的基本关系式的推导
1. 三角函数的定义:
- 正弦函数:sinA = 对边/斜边
- 余弦函数:cosA = 邻边/斜边
- 正切函数:tanA = 对边/邻边
2. 利用勾股定理和三角函数的定义,可以得到如下关系式:
- sinA = 对边/斜边 = 1/cscA
- cosA = 邻边/斜边 = 1/secA
- tanA = 对边/邻边 = 1/cotA
3. 利用三角函数的定义,可以得到如下关系式:
- sin^2A + cos^2A = 1
- 1 + tan^2A = sec^2A
- 1 + cot^2A = csc^2A
三、教学过程
1. 引入:通过一个实际问题引入同角三角函数的定义和性质,激发学生的学习兴趣。
2. 讲解同角三角函数的定义和性质:通过直观的图像和具体的例子,帮助学生理解正弦、余弦和正切的定义以及它们的性质。
3. 推导同角三角函数的基本关系式:通过具体的推导过程,让学生了解同角三角函数之间的关系,并掌握推导的方法和技巧。
4. 练习和讨论:提供一些练习题,让学生通过计算和讨论来巩固所学的知识。
5. 总结和拓展:总结同角三角函数的基本关系式,并引导学生思考如何应用这些关系式解决实际问题。
通过本教案的学习,学生将能够掌握同角三角函数的定义和性质,理解同角三角函数的基本关系式的推导过程,提高解决三角函数相关问题的能力。同时,通过练习和讨论,学生还能够培养分析和解决问题的能力,为进一步学习和应用三角函数打下坚实的基础。
《同角三角函数的基本关系式》教案 篇二
同角三角函数的基本关系式是解决三角函数相关问题的重要工具,它能够帮助我们简化计算和推导过程,提高问题解决的效率。本教案将通过讲解同角三角函数的基本关系式的应用,帮助学生掌握如何灵活运用这些关系式解决实际问题。
一、同角三角函数的基本关系式的应用
1. 解三角函数方程:通过同角三角函数的基本关系式,可以将一个三角函数方程转化为另一个三角函数方程,从而简化求解的过程。
2. 求三角函数值:通过同角三角函数的基本关系式,可以将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值,从而利用已知值求解未知值。
3. 推导三角函数的恒等式:通过同角三角函数的基本关系式,可以推导出各种三角函数的恒等式,从而扩展我们的知识面。
4. 解实际问题:通过将实际问题转化为三角函数相关的问题,结合同角三角函数的基本关系式,可以解决各种实际问题,如测量高度、距离等。
二、教学过程
1. 引入:通过一个实际问题引入同角三角函数的基本关系式的应用,激发学生的学习兴趣。
2. 讲解同角三角函数的基本关系式的应用:通过具体的例子和实际问题,让学生了解如何利用同角三角函数的基本关系式解决问题。
3. 练习和讨论:提供一些练习题和实际问题,让学生通过计算和讨论来巩固所学的知识,并培养分析和解决问题的能力。
4. 总结和拓展:总结同角三角函数的基本关系式的应用,引导学生思考如何运用这些关系式解决更复杂的问题,并拓展相关知识。
通过本教案的学习,学生将能够掌握同角三角函数的基本关系式的应用,提高解决三角函数相关问题的能力。同时,通过练习和讨论实际问题,学生还能够培养分析和解决问题的能力,为进一步学习和应用三角函数打下坚实的基础。
《同角三角函数的基本关系式》教案 篇三
教学目标:
1.掌握同角三角函数之间的三组常用关系,平方关系、商数关系、倒数关系.
2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式.
教学重点:
理解并掌握同角三角函数关系式.
教学难点:
已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;
教学用具:
直尺、投影仪.
教学步骤:
1.设置情境
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
2.探索研究
(1)复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义,如图1所示,任意角 的六个三角函数是如何定义的呢?
在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离是 ,则角 的六个三角函数的值是:
(2)推导同角三角函数关系式
观察 及 ,当 时,有何关系?
当 且 时 、 及 有没有商数关系?
通过计算发现 与 互为倒数:∵ .
由于 ,
这些三角函数中还存在平方关系,请计算 的值.
由三角函数定义我们可以看到: .
∴ ,现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下:
①平方关系:
②商数关系:
③倒数关系:
即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切,同一个角的正切、余切之积等于1(即同一个角的正切、余切互为倒数).上面这三个关系式,我们称之为恒等式,即当 取使关系式两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相等,在第二个式中, 在第三个式中, 的终边不在坐标轴上,这时式中两边都有意义,以后解题时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是意义的.其次,在利用同角三角函数的基本关系式时,要注意其前提“同角”的条件.
(3)同角三角函数关系式的应用
同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数,求出这个角的其他三角函数值.
已知 ,且 是第二象限角,求 , , 的值.
解:∵ ,且 ,∴ 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角,那么
如果 是第三象限角,那么 ,
说明:本题没有具体指出 是第几象限的角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
已知 ,求 的值.
解: ,且 , 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角,那么
如果 是第三象限角,那么 .
说明:本题没有具体指出 是第几象限角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
已知 为非零实数,用 表示 , .
解:因为 ,所以
又因为 ,所以
于是 ∴
由 为非零实数,可知角 的`终边不在坐标轴上,考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限,从而:
在三角求值过程当中应尽量避免开方运算,在不可避免时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号说明.
同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式,请看例4
化简下列各式:
(1) ;(2) .
解:(1) (2)
3.演练反馈(投影)
(1)已知: ,求 的其他各三角函数值.
(2)已知 ,求 , .
(3)化简:
解答:(1)解:∵ ,所以 是第二、第三象限的角.
如果 是第二象限的角,则:
又
如果 是第三象限的角,那么
(2)解:∵ ∴ 是第二或第四象限的角
由的求法可知当 是第二象限时
当 是第四象限时
(3)解:原式
4.本课小结
(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”,因此 , …….
(2)诸如 , ,……它们都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.
(3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.
课时作业:
1.已知 , ,则 等于( )
A. B. C. D.
2.若 ,则 的值是( )
A.-2 B.2 C.±2 D.
3.化简
4.化简 ,其中 为第二象限角.
5.已知 ,求 的值.
6.已知 是三角形的内角, ,求 值.
《同角三角函数的基本关系式》教案 篇四
一、目标:
⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;
2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性;
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.
二、教学重、难点
重点:公式 及 的推导及运用:
(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;
(2)化简三角函数式;
(3)证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及 ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学过程
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
【探究新知】
探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线 ,余弦线 和半径 三者的长构成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 .
根据三角函数的定义,当 时,有 .
这就是说,同一个角 的正弦、余弦的平方等于1,商等于角 的正切.