锐角三角函数知识点【精选3篇】
锐角三角函数知识点 篇一
锐角三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。在本篇文章中，我们将介绍锐角三角函数的定义、性质和常用公式。
一、定义
在直角三角形中，如果一个角的度数小于90度，则称之为锐角。对于锐角A，我们定义三个与之相关的三角函数：正弦、余弦和正切。
1. 正弦（sin）：在锐角三角形中，正弦函数的值等于该锐角对应的直角三角形中的对边长度与斜边长度之比。即sinA = 对边/斜边。
2. 余弦（cos）：在锐角三角形中，余弦函数的值等于该锐角对应的直角三角形中的邻边长度与斜边长度之比。即cosA = 邻边/斜边。
3. 正切（tan）：在锐角三角形中，正切函数的值等于该锐角对应的直角三角形中的对边长度与邻边长度之比。即tanA = 对边/邻边。
二、性质
锐角三角函数具有以下性质：
1. 周期性：正弦和余弦函数的周期均为2π，即sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。而正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tanx。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tanx。
3. 范围：正弦和余弦函数的值范围在[-1, 1]之间，即-1 ≤ sinx ≤ 1，-1 ≤ cosx ≤ 1。而正切函数的值范围为(-∞, +∞)。
三、常用公式
锐角三角函数还有一些常用的公式，包括：
1. 余弦定理：对于任意三角形ABC，边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
2. 正弦定理：对于任意三角形ABC，边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，cos(A ± B) = cosAcosB ? sinAsinB。
以上仅是锐角三角函数的一些基本知识点，通过深入学习和实践应用，我们可以进一步探索其它高级的概念和技巧。锐角三角函数在解决实际问题中发挥着重要作用，帮助我们更好地理解和分析现象，提高数学和科学的应用能力。
锐角三角函数知识点 篇二
锐角三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。在本篇文章中，我们将进一步介绍锐角三角函数的应用，包括三角函数的图像、三角恒等式和三角函数的逆函数。
一、三角函数的图像
我们可以通过绘制三角函数的图像来更直观地理解它们的性质和变化规律。
1. 正弦函数的图像：正弦函数的图像是一个周期为2π的振动曲线，通过点(0, 0)和点(2π, 0)。在每个周期内，正弦函数的值在[-1, 1]之间变动。
2. 余弦函数的图像：余弦函数的图像也是一个周期为2π的振动曲线，通过点(0, 1)和点(2π, 1)。在每个周期内，余弦函数的值在[-1, 1]之间变动。
3. 正切函数的图像：正切函数的图像是一个周期为π的振动曲线，通过点(0, 0)。正切函数在周期内的变化范围是从负无穷到正无穷。
二、三角恒等式
锐角三角函数还有一些重要的恒等式，可以帮助我们简化和转化三角函数的表达式。
1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos^2x + sin^2x = 1。
2. 正切的平方加1等于secant的平方：tan^2x + 1 = sec^2x。
3. 正切和余切的乘积等于1：tanx × cotx = 1。
三、三角函数的逆函数
锐角三角函数还有对应的逆函数，分别是反正弦、反余弦和反正切函数。
1. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。反正弦函数的值等于给定值的正弦值对应的角度。
2. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。反余弦函数的值等于给定值的余弦值对应的角度。
3. 反正切函数（arctan）：反正切函数的定义域是(-∞, +∞)，值域是(-π/2, π/2)。反正切函数的值等于给定值的正切值对应的角度。
通过使用三角函数的逆函数，我们可以求解各种三角方程和三角函数的反函数，进一步扩展了锐角三角函数的应用范围。
综上所述，锐角三角函数是数学中重要的知识点，掌握它们的定义、性质和应用，对于提升数学和科学的应用能力具有重要意义。通过深入学习和实践应用，我们可以进一步探索更高级的概念和技巧，为解决实际问题提供更强大的工具。
锐角三角函数知识点 篇三
锐角三角函数知识点集锦
锐角三角函数是九年级学生在学习了函数概念以及反比例函数、一次函数、二次函数之后学习的又一种形式的函数，本文是小编整理锐角三角函数知识点的资料，仅供参考。
锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边
余弦等于邻边比斜边
正切等于对边比邻边
余切等于邻边比对边
正割等于斜边比邻边
余割等于斜边比对边
正切与余切互为倒数
它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)：
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有
正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y
正割函数 secθ=r/x
余割函数 cscθ=r/y
(斜边为r，对边为y，邻边为x。)
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 coversθ =1-sinθ
锐角三角函数的性质
1、锐角三角函数定义
锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函数间的关系
平方关系：sin2α+cos2α=1
倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)
商的关系：tanα= , cotα=.
(这三个关系的证明均可由定义得出)
4、三角函数值
(1)特殊角三角函数值
(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
(3)锐角三角函数值的变化情况
(i)锐角三角函数值都是正值
(ii)当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
锐角三角函数单元试测试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是
( D )
A.30米 B.10米 C. 米 D. 米
2.如图，坡角为 的斜坡上两树间的水平距离AC为 ，则两树间的坡面距离AB为
( C )
A. B. C. D.
3.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的.公路，经测得有一水塔(图中点A处)
在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )
A.250m B. m C. m D. m
4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( C )
A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3
( 第2题 ) ( 第3题) ( 第4题)
5.如果∠A是锐角，且 ，那么∠A=( B )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 等腰三角形的一腰长为 ，底边长为 ，则其底角为( A )
A. B. C. D.
7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积
是( B )
A.150 B. C. 9 D. 7
8.在△ABC中，∠C=90°，BC=2， ，则边AC的长是( A )
A. B.3 C. D.
9.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图
中阴影部分)的路面面积是( A )
A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)
10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连结CD，若 tan∠BCD= ，则tanA=( C )
A.1 B. C. D.
( 第9题 ) ( 第10题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
11.已知 为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。
12.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。
13.一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，
∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米
(答案可保留根号)。
14.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为 ，旗杆底部
点的俯角为 .若旗杆底部 点到建筑物的水平距离BE=9 米，旗杆台阶高1米，
则旗杆顶点 离地面的高度为 米(结果保留根号)。
(第12题) (第13题) (第14题)
三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)
15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数
据计算回答:小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗?
(可能用到的参考数值:sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51)
15.作CD⊥AC交AB于D，则∠CAB=27°,在Rt ACD中，
CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)
所以小敏不会有碰头危险。
16.已知:如图，在 ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。求BC的长(结果保留根号)。
16.解:过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ABD中，∠B =45°，
∴AD = BD=AB sinB= 。
在Rt ACD中，∠ACD = 60°，
∴tan60°= ，即 ，解得CD = 。
∴BC = BD + DC = + 。
四、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)
17.如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅
顶端B，测的仰角为 ，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的
仰角为 ，求宣传条幅BC的长，(小明的身高不计，结果精确到0.1米)
17.解: ∵∠BFC = ，∠BEC = ，∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC = ， ∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中，
答:宣传条幅BC的长是17.3米。
18.如图，甲船在港口 的北偏西 方向，距港口 海里的 处，沿AP方向以12
海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，
现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向。求乙船的航行速度。(精确到0.1
海里/时，参考数据 ， )
18.依题意，设乙船速度为 海里/时，2小时后甲船在点B处，乙船在点C
处，作 于 ，则 海里， 海里。
在 中， ，
。
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 。
答:乙船的航行速度约为19.7海里/时。
五、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)
19.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，
顶部不易到达)，他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你
在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。
(1)所需的测量工具是: ;
(2)请在下图中画出测量示意图;
(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x。
19.解:(1)皮尺、标杆。
(2)测量示意图如图所示。
(3)如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c
∵△DEF∽△BAC，∴ ，
∴ ，∴ 。
20.梯形ABCD是拦水坝的横断面图，(图中 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE
的比)，∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积。(结果保留三位有效
数字，参考数据: ， )
20.52.0
六、(本大题满分8分)
21.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探
测点A、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°(如图)，试确定生命
所在点 C 的深度.(结果精确到0.1米，参考数据: )
21.
七、(本大题满分8分)
22.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交
叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东
30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°。
(1)求B、D之间的距离;
(2)求C、D之间的距离。
22.解:(1)如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°。
∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。
∵ AE∥BF∥CD，
∴ ∠FBC=∠EAC=60°.
∴ ∠DBC=30°。
又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴ ∠ADB=15°。
∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。
即B，D之间的距离为2km。
(2)过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°。
∴ DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1。
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，
∴ CD=DO-CO= (km)。
即C，D之间的距离为 km。
八、(本大题满分10分)
23.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派
三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是
直线)向前跑到C点，再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D
点，再跳入海中
若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B。
(参考数据 ， )
23.解:在 中， 。
。 。
在 中， ，
。 。
1号救生员到达B点所用的时间为: (秒)，
2号救生员到达B点所用的时间为: (秒)，
3号救生员到达B点所用的时间为 (秒)，
， 号救生员先到达营救地点B。
