常用的三角函数值知识点(经典3篇)
常用的三角函数值知识点 篇一
三角函数是数学中非常重要的概念，它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。而在学习三角函数时，掌握一些常用的三角函数值是非常关键的，本文将介绍一些常用的三角函数值知识点。
首先，我们来看正弦函数（sin）。正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。在单位圆上，正弦函数的值等于角度对应的弧长与半径之比。对于一些特殊角度，我们可以直接记住其对应的正弦函数值。例如，当角度为0°时，正弦函数的值为0；当角度为30°时，正弦函数的值为1/2；当角度为45°时，正弦函数的值为√2/2；当角度为60°时，正弦函数的值为√3/2；当角度为90°时，正弦函数的值为1。
接下来，我们来看余弦函数（cos）。余弦函数也是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。在单位圆上，余弦函数的值等于角度对应的弧长与半径之比。同样地，对于一些特殊角度，我们也可以直接记住其对应的余弦函数值。例如，当角度为0°时，余弦函数的值为1；当角度为30°时，余弦函数的值为√3/2；当角度为45°时，余弦函数的值为√2/2；当角度为60°时，余弦函数的值为1/2；当角度为90°时，余弦函数的值为0。
最后，我们来看正切函数（tan）。正切函数也是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为全体实数。在单位圆上，正切函数的值等于角度对应的弧长与半径之比。同样地，对于一些特殊角度，我们也可以直接记住其对应的正切函数值。例如，当角度为0°时，正切函数的值为0；当角度为30°时，正切函数的值为√3/3；当角度为45°时，正切函数的值为1；当角度为60°时，正切函数的值为√3；当角度为90°时，正切函数的值为无穷大。
除了上述三个基本的三角函数，还有其倒数函数、反函数等。例如，正弦函数的倒数函数是余割函数（csc），余弦函数的倒数函数是正割函数（sec），正切函数的倒数函数是余切函数（cot）。这些函数同样也有特定的取值范围。
总结一下，掌握常用的三角函数值是学习三角函数的基础，它们在解决各种实际问题时起着重要的作用。通过记忆一些特殊角度对应的函数值，我们可以在计算中更加高效地运用三角函数。因此，希望大家能够加强对常用三角函数值的记忆和理解，为今后的学习打下坚实的基础。
常用的三角函数值知识点 篇二
三角函数是数学中非常重要的概念，它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。在学习三角函数时，掌握一些常用的三角函数值是非常关键的，本文将继续介绍一些常用的三角函数值知识点。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，我们还有一些其他常用的三角函数。其中，割函数（sec）是余弦函数的倒数，它的定义域是实数集去除余弦函数的零点，值域是实数集的负无穷大到负一的闭区间。余割函数（csc）是正弦函数的倒数，它的定义域是实数集去除正弦函数的零点，值域是实数集的正无穷大到正一的闭区间。余切函数（cot）是正切函数的倒数，它的定义域是实数集去除正切函数的零点，值域是全体实数。
在实际应用中，我们还经常会遇到一些特殊的三角函数值。例如，当角度为180°时，正弦函数和余切函数的值都为0，而余弦函数和正切函数的值则为-1。当角度为270°时，正弦函数和正切函数的值都为-1，而余弦函数的值为0。当角度为360°时，所有的三角函数值都回到了它们的初始值。这些特殊角度的函数值在计算中经常出现，因此我们应该加以重视并记住它们的取值。
此外，还有一些特殊角度的三角函数值需要我们掌握。例如，当角度为120°时，正弦函数的值为√3/2，余弦函数的值为-1/2，正切函数的值为-√3；当角度为150°时，正弦函数的值为1/2，余弦函数的值为-√3/2，正切函数的值为-√3/3；当角度为210°时，正弦函数的值为-√3/2，余弦函数的值为-1/2，正切函数的值为√3；当角度为240°时，正弦函数的值为-1/2，余弦函数的值为√3/2，正切函数的值为√3/3。这些特殊角度的函数值在解决实际问题时经常被使用，因此我们需要加以熟记。
通过掌握常用的三角函数值，我们可以在解决实际问题时更加高效地运用三角函数。希望大家能够加强对常用三角函数值的记忆和理解，为今后的学习和应用打下坚实的基础。
常用的三角函数值知识点 篇三
常用的三角函数值知识点
求三角函数值是三角函数一章中的重要内容,也是历年高考必考的重要知识点之一，本文是小编整理常用的三角函数值的资料，仅供参考。
常用的三角函数值
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
它有六种基本函数：
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数 sin(A)=a/c
余弦函数 cos(A)=b/c
正切函数 tan(A)=a/b
余切函数 cot(A)=b/a
其中a为对边，b为临边，c为斜边
附：部分特殊三角函数值
sin0=0
cos0=1
tan0=0
sin15=(根号6-根号2)/4
cos15=(根号6+根号2)/4
tan15=sin15/cos15=2-根号3
sin30=1/2
cos30=根号3/2
tan30=根号3/3
sin45=根号2/2
cos45=sin45=根号2/2
tan45=1
sin60=根号3/2
cos60=1/2
tan60=根号3
sin75=cos15
cos75=sin15
tan75=sin75/cos75 =2+根号3
sin90=cos0
cos90=sin0
tan90无意义
sin105=cos15
cos105=-sin15
tan105=-cot15
sin120=cos30
cos120=-sin30
tan120=-tan60
sin135=sin45
cos135=-cos45
tan135=-tan45
sin150=sin30
cos150=-cos30
tan150=-tan30
sin165=sin15
cos165=-cos15
tan165=-tan15
sin180=sin0
cos180=-cos0
tan180=tan0
sin195=-sin15
cos195=-cos15
tan195=tan15
sin360=sin0
cos360=cos0
tan360=tan0
| 360°| 270°| 0° | 15° | 30° | 37° | 45°
sin | 0 | -1 | 0 |(√6-√2)/4 | 1/2 | 3/5 |√2/2
cos | 1 | 0 | 1 |(√6+√2)/4 |√3/2 | 4/5 |√2/2
tan | 0 | 无值 | 0 | 2-√3 |√3/3 | 3/4 | 1
| 53° | 60° | 75° | 90° | 120° | 135°| 180°
sin | 4/5 |√3/2 |(√6+√2)/4 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0
cos | 3/5 | 1/2 | (√6-√2)/4| 0 | -1/2 |-√2/2 |-1
tan | 4/3 | √3 | 2+√3 | 无值 | -√3 | -1 |0
倒数关系
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商数关系
tanα=sinα/cosα
cotα=cosα/sinα
平方关系
sinα+cosα=1
1+tanα=secα
1+cotα=cscα
以下关系，函数名不变，符号看象限
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
以下关系，奇变偶不变，符号看象限
sin(90°-α)=cosα
cos(90°-α)=sinα
tan(90°-α)=cotα
cot(90°-α)=tanα
sin(90°+α)=cosα
cos(90°+α)=sinα
tan(90°+α)=-cotα
cot(90°+α)=-tanα
sin(270°-α)=-cosα
cos(270°-α)=-sinα
tan(270°-α)=cotα
cot(270°-α)=tanα
sin(270°+α)=-cosα
cos(270°+α)=sinα
tan(270°+α)=-cotα
cot(270°+α)=-tanα
积化和差公式
sinα ·cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ·sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα ·cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ·sinβ=(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式
sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]
sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]
cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]
cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]
三角函数的特殊值
sin0°=0 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 sin90°=1
cos0°=1 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 cos90°=0
tan0°=0 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3
cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 cot90°=0
三角函数公式大全
同角三角函数的基本关系
倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin α+cos α=1 tan α *cot α=1
一个特殊公式
(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 证明:(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)
锐角三角函数公式
正弦: sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sina) =4sina[(√3/2)-sina] =4sina(sin60°-sina) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosa[cosa-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
n倍角公式
sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。 其中R=2^(n-1) 证明:当sin(na)=0时，sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】 这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程。 所以sin(na)与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比。 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)，所以 {sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1π/n】 与sina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关 ，但与a无关，记为Rn)。 然后考虑sin(2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2，所以Rn= 2^(n-1)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的.三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A +B +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容
诱导公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变，符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))] cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2))] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]
其它公式
(1) (sinα)+(cosα)=1 (2)1+(t
编辑本段内容规律
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质:
[1] 根据右图，有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
