高中不等式证明练习题及参考答案【优秀3篇】
高中不等式证明练习题及参考答案 篇一
在高中数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的知识点。掌握不等式证明的方法和技巧，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的逻辑思维能力。下面，我将为大家提供一些高中不等式证明的练习题及参考答案。
练习题一：证明当x>0时，有2x^2+3x+1>0。
解答：由于x>0，所以2x^2>0，3x>0，1>0。因此，2x^2+3x+1>0。
练习题二：证明当a>1，b>1时，有a^2+b^2>2ab。
解答：由于a>1，b>1，所以a^2>0，b^2>0，2ab>0。因此，a^2+b^2>2ab。
练习题三：证明当a>0，b>0时，有(a+b)/2>√(ab)。
解答：由于a>0，b>0，所以(a+b)/2>0，√(ab)>0。因此，(a+b)/2>√(ab)。
练习题四：证明当a>0，b>0时，有(a^2+b^2)/2≥(a+b)。
解答：由于a>0，b>0，所以(a^2+b^2)/2>0，a+b>0。因此，(a^2+b^2)/2≥(a+b)。
练习题五：证明当a>0，b>0时，有a/b+b/a≥2。
解答：由于a>0，b>0，所以a/b>0，b/a>0。根据均值不等式，有(a/b+b/a)/2≥√(a/b*b/a)=√(1)=1。因此，a/b+b/a≥2。
以上是一些常见的高中不等式证明的练习题及参考答案。通过这些练习题的解答，我们可以发现不等式证明的关键是找到合适的不等式性质和运算规律，并且要善于运用数学定理和推理方法。希望同学们在学习不等式证明的过程中能够加强练习，不断提高自己的解题能力和思维能力。
高中不等式证明练习题及参考答案 篇二
在高中数学的学习过程中，不等式证明是一个需要深入理解和熟练掌握的知识点。通过解决不等式证明的问题，我们可以提升自己的数学思维和逻辑推理能力。下面，我将为大家提供一些高中不等式证明的练习题及参考答案。
练习题一：证明当x>0时，有x^2+3x+1>0。
解答：由于x>0，所以x^2>0，3x>0，1>0。因此，x^2+3x+1>0。
练习题二：证明当a>1，b>1时，有a^2+b^2>2ab。
解答：由于a>1，b>1，所以a^2>1，b^2>1，2ab>2。因此，a^2+b^2>2ab。
练习题三：证明当a>0，b>0时，有(a+b)/2>√(ab)。
解答：由于a>0，b>0，所以(a+b)/2>0，√(ab)>0。因此，(a+b)/2>√(ab)。
练习题四：证明当a>0，b>0时，有(a^2+b^2)/2≥(a+b)。
解答：由于a>0，b>0，所以(a^2+b^2)/2>0，a+b>0。因此，(a^2+b^2)/2≥(a+b)。
练习题五：证明当a>0，b>0时，有a/b+b/a≥2。
解答：由于a>0，b>0，所以a/b>0，b/a>0。根据均值不等式，有(a/b+b/a)/2≥√(a/b*b/a)=√(1)=1。因此，a/b+b/a≥2。
通过以上的练习题及参考答案，我们可以发现不等式证明的关键是找到合适的不等式性质和运算规律，并且要善于运用数学定理和推理方法。希望同学们在学习不等式证明的过程中能够加强练习，不断提高自己的解题能力和思维能力。只有通过不断的练习和思考，我们才能真正掌握不等式证明的方法和技巧，从而在数学学习中取得更好的成绩。
高中不等式证明练习题及参考答案 篇三
高中不等式证明练习题及参考答案
不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。
不等式证明练习题解答
(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式， 得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 ，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
七年级数学不等式测试题
1、一辆匀速行驶的汽车在11 :20距离A地50千米，要在12 :00之前驶过A地，车速应满足什么条件?
设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到2/3小时，即
设车速是x千米/时
从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶2/3小时的路程要超过50千米，即
2、不等式定义：用“<”或“>”、“≤”“≥” 表示大小关系的式子，叫做不等式，像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。
注：“<” 、“>” 、“≠”、“ ≤”、“ ≥”都是不等号。
练习题：
下列式子哪些是不等式?哪些不是不等式?为什么?
-2<5 x+3>6 4x-2y≤0 a-2b a+b≠c
5m+3=8 8+4<7
3. 不等式的解
我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法;
练习题：
x=78是不等式 的解吗?x=75呢?x=72呢?
判断下列数中哪些是不等式 的解:
76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60
你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等式有多少个解?你能说出他的解集吗?
4、不等式的解集
一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫解不等式。
想一想：
不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
不等式的解与解不等式一样吗?
练习题：
1、下列说法正确的是( )
A. x=3是2x+1>5的解
B. x=3是2x+1>5的唯一解
C. x=3不是2x+1>5的解
D. x=3是2x+1>5的解集
5. 解集的表示方法
:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式(如x>a或x
如不等式 的解集可以用不等式x >75来表示。
练习题：
不等式的解集:
⑴ x+2>6 ⑵ 3x>9 ⑶ x-3>0
:用数轴,标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是不等式的解.
注意：
1.用数轴表示不等式的解集的步骤:
①画数轴; ②定边界点; ③定方向.
2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点,
无等号(>,<)画空心圆.
练习题：
6、一元一次不等式
我们知道2x+1=5叫做一元一次方程，那么你觉得不等式2x+1>5应该如何命名吗?
定义类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式
数学归纳法证明不等式的基本知识
数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围
(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的
例如一个数列的通项公式是an(n25n5)2
容易验证a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出结论——对于任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是错误的.
事实上，a5=25≠1.
因此，就需要寻求证明这一类命题的`一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.
(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。形象地说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;
(2)假设当n=k(kN，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数，它可取无限多个值.
附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.
任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：
①1是一个自然数;
②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;
③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;
④由a’ =b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;
⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M，则集合M包含一切自然数.
其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.
(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.
例如用数学归纳法证明(1+1)n(n N)的单调性就难以实现.一般来说，n
从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.
