余弦定理的证明【优选3篇】
余弦定理的证明 篇一
余弦定理是三角学中的一个重要定理，可以用来计算三角形中的边长和角度。下面我们来证明余弦定理。
设在一个三角形ABC中，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。我们需要证明以下等式成立：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
首先，我们根据余弦定理的定义，可以得到以下等式：
cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
然后，我们将cosC代入到c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC中，得到：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab((a^2 + b^2 - c^2) / 2ab)
化简上式，可以得到：
c^2 = a^2 + b^2 - a^2 - b^2 + c^2
经过简化，上式变为：
c^2 = a^2 + b^2 - a^2 - b^2 + c^2
可以看出，左边和右边的表达式完全一样，这证明了余弦定理成立。
所以，我们证明了余弦定理的等式：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
余弦定理的证明 篇二
余弦定理是三角学中的一个重要定理，可以用来计算三角形中的边长和角度。下面我们来证明余弦定理。
设在一个三角形ABC中，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。我们需要证明以下等式成立：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
首先，根据余弦定理的定义，我们可以得到以下等式：
cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
然后，我们将cosC代入到c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC中，可以得到：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab((a^2 + b^2 - c^2) / 2ab)
化简上式，可以得到：
c^2 = a^2 + b^2 - a^2 - b^2 + c^2
经过简化，上式变为：
c^2 = a^2 + b^2 - a^2 - b^2 + c^2
可以看出，左边和右边的表达式完全一样，这证明了余弦定理成立。
所以，我们证明了余弦定理的等式：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
综上所述，我们通过两种方法证明了余弦定理的正确性。这个定理的应用广泛，可以帮助我们计算各种三角形的边长和角度，对于解决实际问题非常有用。
余弦定理的证明 篇三
法一：在△ABC中，已知 ，求c。
过A作 ，
在Rt 中， ，
法二：
，即：
法三：
先证明如下等式：
⑴
证明：
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、 有
即 .
同理可证
.
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根据向量的运算：
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A),
(1)由 = ：得
asin B=bsin A,即
= .
同理可得： = .
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理：
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B.
法二：如图5，
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知
，
即
将(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.
参考文献：
【1】孟燕平?抓住特征，灵活转换?数学通报2003年第11期.
【2】《中学生数学》(上)2000年3月上
【3】《数学(必修5)》人民教育出版社
